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古人為什么不直接用軟尺圍成圓,以周長除以直徑算圓周率?

   日期:2018-11-26     作者:艾伯史密斯    瀏覽:324    評(píng)論:0    
核心提示:古人為什么不直接用軟尺圍成圓,以周長除以直徑算圓周率?
 那種辦法,受測量誤差的影響,計(jì)算圓周率的精度十分有限!

肯定有人覺得口說無憑,那我們就來推導(dǎo)一下,看看實(shí)際測量,然后計(jì)算圓周率的精度極限在哪!

游標(biāo)卡尺是機(jī)械時(shí)代,長度測量中,精度最高的工具,一般游標(biāo)卡尺的精度能到0.1mm,古代的卡尺應(yīng)該達(dá)不到如此精度;再加上長距離的軟尺(或者繩),由于本身存在韌性,測量精度還會(huì)大大降低。

我們就假設(shè),在一次測量中,絕對(duì)誤差ΔL=±1mm;然后利用誤差分析,看看絕對(duì)誤差和圓周率精度之間的關(guān)系!

推導(dǎo)過程:

以上證明指出:我們需要七位小數(shù)精度的圓周率,在半徑和周長的絕對(duì)誤差僅僅只有1mm,同時(shí)忽略半徑相對(duì)誤差的情況下,這個(gè)圓的半徑將達(dá)到10千米?。?!

對(duì)古人來說,這是不可能做到的事;就算現(xiàn)在的技術(shù),也很難做到!

實(shí)際操作的極限

實(shí)際上,考慮古人測量工具的誤差,還有場地的限制,r取10米,ΔC取1cm時(shí),圓周率的誤差:

Δπ=ΔC/r=0.0001;

也就是說:圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后面第三位,已經(jīng)是這個(gè)辦法的理論極限了!古人用繩子繞定柱畫一個(gè)圓,然后測量直徑和周長,實(shí)際上也就精確到小數(shù)點(diǎn)后面第二位!

數(shù)值算法

要想得到更高的圓周率精度,只能依靠理論計(jì)算,比如:

(1)祖沖之利用割圓術(shù),計(jì)算正多邊形(到24576邊),把圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后面第七位,這個(gè)計(jì)算量也是相當(dāng)大的;

 

(2)牛頓-萊布尼茲發(fā)明微積分后,一大批圓周率的級(jí)數(shù)襲來,圓周率的理論計(jì)算容易很多,比如著名的梅欽公式:

利用梅欽公式進(jìn)行人工計(jì)算,每加上一項(xiàng),可以把十進(jìn)制圓周率的精度推進(jìn)一位,不到半個(gè)鐘頭,你就可以得到和祖沖之一樣的精度。

 
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